Commande EquationLieu

Commandes Géométrie

EquationLieu( <Lieu> )

Calcule l’équation d’un lieu et la représente en tant que courbe implicite.

Le Lieu doit avoir été construit à partir d’un point, non d’un curseur.
EquationLieu( <Point Q décrivant le lieu>, <Point P> )

Calcule l’équation d’un lieu en utilisant les entrées du point Q décrivant le lieu et celles du point mobile P, et la représente en tant que courbe implicite.

Paraboles

1) Décidons de construire une parabole en tant que lieu des points équidistants d’une droite (d) donnée, sa directrice, et d’un point F donné, son foyer :

Créons une droite d et un point libre F.

Maintenant, créons un point P contraint à appartenir à d (le point mobile),puis, par P, la perpendiculaire à d.

Créons aussi la médiatrice b des deux points F et P.

Finalement, le point Q (le point décrivant le lieu) équidistant de d et de F est le point d’intersection des droites p et b.

Maintenant EquationLieu(Q,P) calcule l’équation exacte et représente la parabole recherchée.

2) Intéressons nous au lieu de l'orthocentre du triangle ABC

A=(-1,1), B=(1,1), et C=Point(axeX),

définissons ces 3 points, puis 2 hauteurs et leur point d’intersection H

(la commande TriangleCentre(A,B,C,4) pour construire H n’est pas compatible avec les algorithmes de lieux).

La validation de EquationLieu(H,C) va définir la courbe implicite d’équation x²-y = 0, qui n’est rien d’autre que la parabole de référence.

  • Cette commande ne fonctionne que pour un ensemble restreint de lieux géométriques : ceux qui utilisent des points, des lignes, des cercles, ou des coniques. (Demi-droites et segments sont traités comme étant des droites.)

  • Si le lieu est trop compliqué, alors GeoGebra va retourner 'non défini'.

  • S’il n’y a pas de lieu, alors la courbe implicite est l’ensemble vide 0=1.

  • Si le lieu est le plan tout entier, alors la courbe implicite a pour équation 0=0.

  • Le calcul est exécuté selon les bases de Gröbner, ce qui entraîne parfois l’apparition de branches de la courbe supplémentaires par rapport au lieu initial.

Voir aussi l’outil Mode locus.svg Lieu ainsi que la commande Lieu .

EquationLieu( <Booléen>, <Point mobile> )

Calcule le lieu du Point mobile tel que la condition soit réalisée, et le retourne sous forme de courbe implicite.

EquationLieu(SontAlignés(A, B, C), C) calcule l’ensemble des positions du point mobile C telles que A, B et C soient alignés - ie la droite (AB) ;

EquationLieu(SontPerpendiculaires(Droite(C,A), Droite(C,B)), C) calcule l’ensemble des positions du point mobile C telles que (CA) et (CB) soient perpendiculaires - ie le cercle de diamètre [AB]

Avec GeoGebra 5.0 et supérieure, un serveur distant peut être sollicité pour réaliser les calculs nécessaires, (ceci peut être désactivé en utilisant l’option de la ligne de commande --singularWS=enable:false).

Une collection d’exemples de lieux implicites est consultable (en anglais).